Question

【题目】如图，已知四边形ABCD是菱形,点E、F分别是菱形ABCD边AD、CD的中点.

（1）求证：BE=BF；

（2）当△BEF为等边三角形时，求的度数.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）120°

【解析】分析：（1）利用菱形的性质证明△ABE≌△BCF，即可证出BE=BF；

（2）取BF的中点G，连接EG，先证四边形ABFD是梯形，再证EG是梯形ABFD的中位线，即可得到∠ABF=90°，进而可求出的度数.

详解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠C

∵点E、F分别为菱形ABCD边AD、CD的中点.

∴AE=CF ，

又∵ ∠A=∠C，AB=BC，

∴△ABE≌△BCF，

∴BE=BF；

(2) 取BF的中点G，连接EG，

∵△BEF为等边三角形，

∴EG⊥BF，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB∥DF，

又∵AD与BF不平行，

∴四边形ABFD是梯形

∵E是AD中点，G是BF的中点，

∴EG是梯形ABFD的中位线，

∴EG∥AB，

∵EG⊥BF，

∴AB⊥BF，

∴∠ABF=90°，

∵△BEF为等边三角形，

∴∠EBF=60°，

∴∠ABE=30° ，

∵△ABE≌△BCF，

∴∠ABE=∠CBF= 30°，

∴∠ABC=120°.