Question

【题目】如图，抛物线经过原点，与轴的另一个交点为，将抛物线向右平移个单位得到抛物线， 交轴于， 两点（点在点的左边），交轴于点．

（）求抛物线的解析式及顶点坐标．

（）以为斜边向上作等腰直角三角形，当点落在抛物线的对称轴上时，求抛物线的解析式．

（）若抛物线的对称轴存在点，使为等边三角形，请直接写出的值．

Answer 1

【答案】（1）抛物线的解析式为，顶点坐标；

（2）抛物线的解析式为： ；

（3）．

【解析】试题分析：（1）把（0，0）及（2，0）代入y=x2+bx+c，求出抛物线C1的解析式，即可求出抛物线C1的顶点坐标；

（2）先求出C2的解析式，确定A，B，C的坐标，过点C作CH⊥对称轴DE，垂足为H，利用△PAC为等腰直角三角形，求出角的关系可证得△CHD≌△DEA，再由OC=EH列出方程求解得出m的值，即可得出C2的解析式．

（3）连接BC，BP，由抛物线对称性可知AP=BP，由△PAC为等边三角形，可得AP=BP=CP，∠APC=60°，由C，A，B三点在以点P为圆心，PA为半径的圆上，可得BC=2OC，利用勾股定理求出OB=OC，列出方程求出m的值即可．

试题解析：解：（1）∵抛物线C1经过原点，与x轴的另一个交点为（2，0），∴ ，解得： ，∴抛物线C1的解析式为y=x2﹣2x，∴抛物线C1的顶点坐标（1，﹣1）；

（2）如图1，∵抛物线C1向右平移m（m＞0）个单位得到抛物线C2，∴C2的解析式为y=（x﹣m﹣1）2﹣1，∴A（m，0），B（m+2，0），C（0，m2+2m），过点C作CH⊥对称轴DE，垂足为H，∵△ACD为等腰直角三角形，∴AD=CD，∠ADC=90°，∴∠CDH+∠ADE=90°，∴∠HCD=∠ADE，∵∠DEA=90°，∴△CHD≌△DEA，∴AE=HD=1，CH=DE=m+1，∴EH=HD+DE=1+m+1=m+2，由OC=EH得m2+2m=m+2，解得m1=1，m2=﹣2（舍去），∴抛物线C2的解析式为：y=（x﹣2）2﹣1．

（3）如图2，连接BC，BP，由抛物线对称性可知AP=BP，∵△PAC为等边三角形，∴AP=BP=CP，∠APC=60°，∴C，A，B三点在以点P为圆心，PA为半径的圆上，∴∠CBO=∠CPA=30°，∴BC=2OC，∴由勾股定理得OB==OC，∴（m2+2m）=m+2，解得m1=，m2=﹣2（舍去），∴m=．