Question

【题目】如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点E是AC上一点，连接BE．
（1）如图1，若AB=4 ，BE=5，求AE的长；
（2）如图2，点D是线段BE延长线上一点，过点A作AF⊥BD于点F，连接CD、CF，当AF=DF时，求证：DC=BC．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵∠ACB=90°，AC=BC，

∴AC=BC= AB=4，

∵BE=5，

∴CE= =3，

∴AE=4﹣3=1；

（2）解：∵∠ACB=90°，AC=BC，

∴∠CAB=45°，

∵AF⊥BD，

∴∠AFB=∠ACB=90°，

∴A，F，C，B四点共圆，

∴∠CFB=∠CAB=45°，

∴∠DFC=∠AFC=135°，

在△ACF与△DCF中， ，

∴△ACF≌△DCF，

∴CD=AC，

∵AC=BC，

∴AC=BC．

【解析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到AC=BC= AB=4，根据勾股定理得到CE= =3，于是得到结论；（2）根据等腰直角三角形的性质得到∠CAB=45°，由于∠AFB=∠ACB=90°，推出A，F，C，B四点共圆，根据圆周角定理得到∠CFB=∠CAB=45°，求得∠DFC=∠AFC=135°，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【考点精析】关于本题考查的勾股定理的概念，需要了解直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2才能得出正确答案．