Question

【题目】如图，点A（0，2），在x轴上取一点B，连接AB，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、AB于点M、N，再以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点D，连接AD并延长交x轴于点P．若△OPA与△OAB相似，则点P的坐标为（　　）

A. （1，0）B. （，0）C. （，0）D. （2，0）

Answer 1

【答案】C

【解析】

根据点D的画法可得出AD平分∠OAB，由角平分线的性质结合相似三角形的性质可得出∠OBA＝∠OAB，利用二角互补即可求出∠OBA＝∠OAP＝30°，通过解含30度角的直角三角形即可得出点P的坐标．

解：由点D的画法可知AD平分∠OAB．

∵△OPA∽△OAB，

∴∠OAP＝∠OBA＝∠OAB．

∵∠OAB+∠OBA＝∠OAB+∠OAB＝90°，

∴∠OAB＝60°，∠OAP＝30°，

∴AP＝2OP．

在Rt△OAP中，∠AOP＝90°，OA＝2，

，

∴OP＝，

∴点P的坐标为（，0）．

故选：C．