Question

【题目】如图1，△DBE和△ABC都是等腰直角三角形，D，E两点分别在AB，BC上，∠B=90°．将△DBE绕点B顺时针旋转，得到图2．

（1）在图2中，求证：AD=CE；

（2）设AB= ，BD= ，且当A、D、E三点在同一直线上时，∠EAC=30°，请利用备用图画出此情况下的图形，并求旋转的角度和的值．

Answer 1

【答案】(1)详见解析；（2）30°，.

【解析】试题分析：由△DBE和△ABC都是等腰直角三角形，可得AB=BC, DB=BE,∠ABD=∠CBE,根据“SAS”可证△ABD≌△CBE,从而AD=CE；

（2）先证△ABD≌△CBE，可求∠ADB=∠CEB=135°，可求∠AEC=90°，进而求出∠BAD=45°-30°=15°，根据三角形内角和即可旋转角∠ABD的度数；由AE=AD+DE=cos30 ·AC，整理可得的值．

解：(1)∵△DBE和△ABC都是等腰直角三角形，

∴AB=BC, DB=BE,∠ABC=∠DBE=90°,∴∠ABD=90°-∠DBC=∠CBE=90°-∠DBC,

∴△ABD≌△CBE,

∴AD=CE;

(2)如图, A、D、E三点在同一直线上时，

∵△DBE和△ABC都是等腰直角三角形，

∴∠BAC=∠BDE=∠BED =45°,

又△ABD≌△CBE，∴∠ADB=∠CEB=135°．

∴∠AEC=90°，

∵∠EAC=30°，

∴∠BAD=45°-30°=15°，∴∠ABD=30°，即旋转角为30°.

∵△DBE和△ABC是等腰直角三角形，AB=, BD=,

∴AC=，DE=,

∵△ABD≌△CBE,

∴AD=EC，

∵∠EAC=30°，∠AEC=90°，AC= ，

∴AD=EC=，

∴AE=AD+DE=+=，

整理得.