Question

【题目】阅读下面的情景对话，然后解答问题：

（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题？
（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a：b：c；
（3）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（不与点A、B重合），D是半圆 的中点，C、D在直径AB的两侧，若在⊙O内存在点E，使AE=AD，CB=CE． ①求证：△ACE是奇异三角形；
②当△ACE是直角三角形时，求∠AOC的度数．

Answer 1

【答案】
（1）解：设等边三角形的一边为a，则a2+a2=2a2，

∴符合奇异三角形”的定义．

∴是真命题

（2）解：∵∠C=90°，

则a2+b2=c2①，

∵Rt△ABC是奇异三角形，且b＞a，

∴a2+c2=2b2②，

由①②得：b= a，c= a，

∴a：b：c=1： ：

（3）解：∵①AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=∠ADB=90°，

在Rt△ACB中，AC2+BC2=AB2，

在Rt△ADB中，AD2+BD2=AB2，

∵点D是半圆 的中点，

∴ = ，

∴AD=BD，

∴AB2=AD2+BD2=2AD2，

∴AC2+CB2=2AD2，

又∵CB=CE，AE=AD，

∴AC2+CE2=2AE2，

∴△ACE是奇异三角形；

②由①可得△ACE是奇异三角形，

∴AC2+CE2=2AE2，

当△ACE是直角三角形时，

由（2）得：AC：AE：CE=1： ： 或AC：AE：CE= ： ：1，

当AC：AE：CE=1： ： 时，AC：CE=1： ，即AC：CB=1： ，

∵∠ACB=90°，

∴∠ABC=30°，

∴∠AOC=2∠ABC=60°；

当AC：AE：CE= ： ：1时，AC：CE= ：1，即AC：CB= ：1，

∵∠ACB=90°，

∴∠ABC=60°，

∴∠AOC=2∠ABC=120°．

∴∠AOC的度数为60°或120°．

【解析】（1）根据“奇异三角形”的定义与等边三角形的性质，求证即可；（2）根据勾股定理与奇异三角形的性质，可得a2+b2=c2与a2+c2=2b2 ， 用a表示出b与c，即可求得答案；（3）①AB是⊙O的直径，即可求得∠ACB=∠ADB=90°，然后利用勾股定理与圆的性质即可证得；②利用（2）中的结论，分别从AC：AE：CE=1： ： 与AC：AE：CE= ： ：1去分析，即可求得结果．
【考点精析】掌握等边三角形的性质和勾股定理的概念是解答本题的根本，需要知道等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°；直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2．