Question

【题目】如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣2，2），点B的坐标为（6，6），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点E．

（1）求点E的坐标；
（2）求抛物线的函数解析式；
（3）点F为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线EF与抛物线交于M、N两点（点N在y轴右侧），连接ON、BN，当点F在线段OB上运动时，求△BON面积的最大值，并求出此时点N的坐标；
（4）连接AN，当△BON面积最大时，在坐标平面内求使得△BOP与△OAN相似（点B、O、P分别与点O、A、N对应）的点P的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：设直线AB解析式为y=kx+b，

将A（﹣2，2），B（6，6）代入，得 ，解得 ，

∴y= x+3，令x=0，

∴E（0，3）

（2）

解：设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，

将A（﹣2，2），B（6，6），O（0，0）三点坐标代入，得 ，解得 ，

∴y= x2﹣ x

（3）

解：依题意，得直线OB的解析式为y=x，设过N点且与直线OB平行的直线解析式为y=x+m，

联立 ，得x2﹣6x﹣4m=0，当△=36+16m=0时，过N点与OB平行的直线与抛物线有唯一的公共点，则点N到BO的距离最大，所以△BON面积最大，

解得m=﹣ ，x=3，y= ，即N（3， ）；

此时△BON面积= ×6×6﹣ （ +6）×3﹣ × ×3=

（4）

解：过点A作AS⊥GQ于S，

∵A（﹣2，2），B（6，6），N（3， ），

∵∠AOE=∠OAS=∠BOH=45°，

OG=3，NG= ，NS= ，AS=5，

在Rt△SAN和Rt△NOG中，

∴tan∠SAN=tan∠NOG= ，

∴∠SAN=∠NOG，

∴∠OAS﹣∠SAN=∠BOG﹣∠NOG，

∴∠OAN=∠NOB，

∴ON的延长线上存在一点P，使得△BOP∽△OAN，

∵A（﹣2，2），N（3， ），

∵△BOP与△OAN相似（点B、O、P分别与点O、A、N对应），即△BOP∽△OAN，

∴BO：OA=OP：AN=BP：ON

又∵A（﹣2，2），N（3， ），B（6，6），

∴BO=6 ，OA=2 ，AN= ，ON= ，

∴OP= ，BP= ，

设P点坐标为（4x，x），

∴16x2+x2=（ ）2，

解得x= ，4x=15，

∵P、P′关于直线y=x轴对称，

∴P点坐标为（15， ）或（ ，15）．

【解析】（1）根据A、B两点坐标求直线AB的解析式，令x=0，可求E点坐标；（2）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，将A（﹣2，2），B（6，6），O（0，0）三点坐标代入，列方程组求a、b、c的值即可；（3）依题意，得直线OB的解析式为y=x，设过N点且与直线OB平行的直线解析式为y=x+m，与抛物线解析式联立，得出关于x的一元二次方程，当△=0时，△BON面积最大，由此可求m的值及N点的坐标；（4）根据三角形相似的性质得到BO：OA=OP：AN=BP：ON，然后根据勾股定理分别计算出BO=6 ，OA=2 ，AN= ，ON= ，这样可求出OP= ，BP= ，设P点坐标为（x，y），再利用勾股定理得到关于x，y的方程组，解方程组即可．