Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），且OC=OB，tan∠ACO=．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD下方的抛物线上有一点P，过点P作PH⊥AD于点H，作PM平行于y轴交直线AD于点M，交x轴于点E，求△PHM的周长的最大值；

（3）在（2）的条件下，以点E为端点，在直线EP的右侧作一条射线与抛物线交于点N，使得∠NEP为锐角，在线段EB上是否存在点G，使得以E，N，G为顶点的三角形与△AOC相似？如果存在，请求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4．（2）当a=1时，PM有最大值，最大值为4．（3）存在，点G的坐标为（，0）或（，0）．

【解析】

试题分析：（1）先由锐角三角函数的定义求得C的坐标，从而得到点B的坐标，设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣4），将点C的坐标代入求解即可；

（2）先求得抛物线的对称轴，从而得到点D（3，﹣4），然后可求得直线AD的解析式y=﹣x﹣1，故∠BAD=45°，接下来证明△PMD为等腰直角三角形，所当PM有最大值时三角形的周长最大，设P（a，a2﹣3a﹣4），M（﹣a﹣1），则PM=﹣a2+2a+3，然后利用配方可求得PM的最大值，最后根据△MPH的周长=（1+）PM求解即可；

（3）当∠EGN=90°时，如果或，则△AOC∽△EGN，设点G的坐标为（a，0），则N（a，a2﹣3a﹣4），则EG=a﹣1，NG=﹣a2+3a+4，然后根据题意列方程求解即可．

解：（1）∵点A的坐标为（﹣1，0），

∴OA=1．

又∵tan∠ACO=，

∴OC=4．

∴C（0，﹣4）．

∵OC=OB，

∴OB=4

∴B（4，0）．

设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣4）．

∵将x=0，y=﹣4代入得：﹣4a=﹣4，解得a=1，

∴抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4．

（2）∵抛物线的对称轴为x=﹣=，C（0，﹣4），点D和点C关于抛物线的对称轴对称，

∴D（3，﹣4）．

设直线AD的解析式为y=kx+b．

∵将A（﹣1，0）、D（3，﹣4）代入得：，解得k=﹣1，b=﹣1，

∴直线AD的解析式y=﹣x﹣1．

∵直线AD的一次项系数k=﹣1，

∴∠BAD=45°．

∵PM平行于y轴，

∴∠AEP=90°．

∴∠PMH=∠AME=45°．

∴△MPH的周长=PM+MH+PH=PM+MP+PM=（1+）PM．

设P（a，a2﹣3a﹣4），M（﹣a﹣1），则PM=﹣a﹣1﹣（a2﹣3a﹣4）=﹣a2+2a+3，

∵PM=﹣a2+2a+3=﹣（a﹣1）2+4，

∴当a=1时，PM有最大值，最大值为4．

∴△MPH的周长的最大值=4×（1+）=4+4．

（3）如图1所示；当∠EGN=90°．

设点G的坐标为（a，0），则N（a，a2﹣3a﹣4）．

∵∠EGN=∠AOC=90°，

∴时，△AOC∽△EGN．

∴=，整理得：a2+a﹣8=0．

解得：a=（负值已舍去）．

∴点G的坐标为（，0）．

如图2所示：当∠EGN=90°．

设点G的坐标为（a，0），则N（a，a2﹣3a﹣4）．

∵∠EGN=∠AOC=90°，

∴时，△AOC∽△NGE．

∴=4，整理得：4a2﹣11a﹣17=0．

解得：a=（负值已舍去）．

∴点G的坐标为（，0）．

∵EN在EP的右面，

∴∠NEG＜90°．

如图3所示：当∠ENG′=90°时，

EG′=EG××=（﹣1）×=．

∴点G′的横坐标=．

∵≈4.03＞4，

∴点G′不在EG上．

故此种情况不成立．

综上所述，点G的坐标为（，0）或（，0）．