Question

【题目】如图所示，在ΔABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F。

①求证：OE＝OF；

②当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并请说明理由。

③当点O运动到AC边的中点时，在ΔABC中添加一个什么条件后，四边形AECF是正方形。（只需写出一个条件，不必证明）

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形；（3）添加∠ACB=90°

【解析】

试题分析：（1）根据角平分线的性质可证明；

（2）根据角平分线的性质可判断出结果；

（3）在（2）的基础上添加一个角是直角即可得到矩形。

试题解析：（1）∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠BCE，

∵MN∥BC，∴∠OEC=∠ECB，∴∠OEC=∠OCE，∴OE=OC，同理：OF=OC，

∴OE=OF.

（2）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形；

理由：如图，AO=CO，EO=FO，∴四边形AECF是平行四边形；

∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠ACB，同理：∠ACF=∠ACG，

∴∠ECF=∠ACE+∠ACF=(∠ACB+∠ACG)= ×180°=90°

∴四边形AECF是平行矩形；

（3）添加∠ACB=90°.