Question

【题目】如图，正方形中，点是边上异于点的一点，的垂直平分线分别交、于，连.

（1）求证：；

（2）请求出：的度数；

（3）试猜想线段之间的数量关系并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析 （2）90° （3）AE=DF+BM

【解析】

（1）本题考查垂直平分线的性质，按照其性质直接作答即可．

（2）本题考查全等三角形的判定，可通过做辅助线构造全等三角形，继而通过角度的等量替换解答本题．

（3）本题考查线段之间的数量关系，需要通过做辅助线构造全等三角形，利用全等性质推出边等，最后进行边的替换解答本题．

（1）∵EF是AM的垂直平分线

又∵点K在线段EF上

∴ KA=KM

（2）过K点作KQ，KT分别垂直于AB，BC，如下图所示

∵正方形ABCD，点K在其对角线BD上

∴KQ=KT，四边形QKTB为正方形

又∵KA=KM，∠KQA=∠KTM=90°

∴△KAQ△KMT（HL）

∴∠AKQ=∠TKM

∵∠QKT=90°

∴∠QKT=∠QKM+∠MKT=90°

∴∠QKT=∠QKM+∠AKQ=90°

∴∠AKM=90°

（3）过F点作FG⊥AB于G点，如下图所示

∴AG=DF，∠FEG+∠GFE=90°

∵EF⊥AM

∴∠BAM+∠FEG=90°

∴∠BAM=∠GFE

又∵∠FGE=∠ABM=90°，GF=AB

∴△FGE△ABM（ASA）

∴GE=BM

故AE=AG+GE=DF+BM