Question

【题目】如图，△ABC中，下面说法正确的个数是（　　）个．
①若O是△ABC的外心，∠A=50°，则∠BOC=100°；
②若O是△ABC的内心，∠A=50°，则∠BOC=115°；
③若BC=6，AB+AC=10，则△ABC的面积的最大值是12；
④△ABC的面积是12，周长是16，则其内切圆的半径是1．

A.1
B.2
C.3
D.4

Answer 1

【答案】C
【解析】解：①若O是△ABC的外心，∠A=50°，则∠BOC=100°，根据圆周角定理直接得出即可，故此选项正确；
②若O是△ABC的内心，∠A=50°，则∠BOC=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（180°﹣∠A）=115°，故此选项正确；
③若BC=6，AB+AC=10，则△ABC的面积的最大值是12；
由题意，三角形的周长是16，由令AB=x，则AC=10﹣x，
由海伦公式可得三角形的面积S==≤4×=12，
等号仅当8﹣x=x﹣2即x=5时成立，
故三角形的面积的最大值是12，故此选项正确；
④△ABC的面积是12，周长是16，设内切圆半径为x，则x×16=12，
解得：x=1.5，
则其内切圆的半径是1，此选项错误．
故正确的有①②③共3个．
故选：C．
①根据圆周角定理直接求出∠BOC的度数即可；
②利用内心的定义得出∠BOC=180°﹣（∠ABC+∠ACB）进而求出即可；
③研究三角形面积最大值的问题，由于已知三边的和，故可以借助海伦公式建立面积关于边的函数，再利用基本不等式求最值；
④根据内心到三角形三边距离相等得出内切圆半径乘以周长等于面积，即可得出答案．