Question

【题目】如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于E，过点A作∠DAF=∠DAB，过点D作AF的垂线，垂足为F，交AB的延长线于点P，连接CO并延长交⊙O于点G，连接EG，已知DE=4，AE=8．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）求证：OC2=OEOP；
（3）求线段EG的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OD，如图1所示：

∵OA=OD，

∴∠DAB=∠ADO，

∵∠DAF=∠DAB，

∴∠ADO=∠DAF，

∴OD//AF，

又∵DF⊥AF，

∴DF⊥OD，

∴DF是⊙O的切线；

（2）证明：由（1）得：DF⊥OD，

∴∠ODF=90°，

∵AB⊥CD，

∴由射影定理得：OD2=OEOP，

∵OC=OD，

∴OC2=OEOP

（3）解：连接DG，如图2所示：

∵AB⊥CD，

∴DE=CE=4，

∴CD=DE+CE=8，

设OD=OA=x，则OE=8﹣x，

在Rt△ODE中，由勾股定理得：OE2+DE2=OD2，

即（8﹣x）2+42=x2，

解得：x=5，

∴CG=2OA=10，

∵CG是⊙O的直径，

∴∠CDG=90°，

∴DG= = =6，

∴EG= = =2 ．

【解析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质得出∠DAB=∠ADO，再由已知条件得出∠ADO=∠DAF，证出OD//AF，由已知DF⊥AF，得出DF⊥OD，即可得出结论；（2）由射影定理得出OD2=OEOP，由OC=OD，即可得出OC2=OEOP；（3）连接DG，由垂径定理得出DE=CE=4，得出CD=8，由勾股定理求出DG，再由勾股定理求出EG即可．