【题目】如图，已知抛物线经过点A（－1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点。

（1）求抛物线的解析式。
（2）求△ABC的面积。若P是抛物线上一点（异于点C），且满足△ABP的面积等于△ABC的面积，求满足条件的点P的坐标。
（3）点M是线段BC上的点（不与B ， C重合），过M作MN∥ 轴交抛物线于N ， 若点M的横坐标为 ，请用含 的代数式表示线段MN的长。
（4）在（3）的条件下，连接NB、NC ， 则是否存在点M，使△BNC的面积最大？若存在，求 的值，并求出△BNC面积的最大值。若不存在，说明理由。

参考答案：

【答案】
（1）解：由已知条件可设抛物线解析式为 ，

∵点C（0,3）在抛物线上.

∴ ，解得 ，

∴抛物线解析式为 .


（2）解：∵点A、B、C的坐标分别为：A（－1，0）、B（3，0）、C（0，3），

∴AB=4，OC=3

∴ S△ABC= ，

设点P的坐标为 ，

∵ S△ABP= S△ABC=6，

∴点P纵坐标的绝对值等于OC的长，即：

当－x2+2x+3.=3时，解得

∴P（0,3）（舍）， P（2,3）

当－x2+2x+3.=-3时，解得

∴P（ ,-3）， P（ ,-3）

∴满足条件的点P的坐标为（2,3）（ ,-3）（ ,-3）


（3）解：如图1，设MN交x轴于点D，

∵MN∥y轴，点M横坐标为m,

∴N的横坐标为m, D（m,0)

∵点N在抛物线上

∴点N的坐标为N( m, －m2+2m+3),

设直线BC解析式为y=kx+b,

∴ 解得

∴直线BC的解析式为y= －x+3.

∵点M在直线BC上,

∴点M（m, －m+3)

∴MN=DN－DM=(－m2+2m+3)－(－m+3)=－m2+3m


（4）解：存在.如2，连接BN、CN

设△BNC的面积为S，则

∵ ，且 ，

∴ 时，△BNC的面积最大，最大面积为 .


【解析】（1）根据已知点的特点，设二次函数解析式为交点式，再将点C的坐标代入即可求出函数解析式。
（2）先根据点A、B、C的坐标分别求出AB、OC的长，再根据三角形的面积公式即可求得结果；根据已知△ABP的面积等于△ABC的面积，而AB=4, S△ABC= 6 ,可求出△ABP的AB边上的高为3，即点P的纵坐标的绝对值等于3，设点P的坐标，根据点P的纵坐标=±3，建立方程，求解即可求出点P的坐标。
（3）根据已知MN∥y轴，交抛物线与N，根据点M的横坐标表示出点N的坐标，点D的坐标，再求出直线BC的函数解析式，就可表示出点M的坐标，然后用含m的代数式分别表示出DN、DM的长，即可求出MN关于m的函数解析式。
（4）连接BN、CN，根据△BNC的面积=△BMN的面积+△MNC的面积，△BMN和△MNC有公共的底边，两三角形的高之和为OB的长，可建立s与m的函数解析式，求出顶点坐标，即可得出结论。
【考点精析】利用二次函数图象的平移和二次函数的最值对题目进行判断即可得到答案，需要熟知平移步骤：（1）配方 y=a(x-h)2+k，确定顶点（h,k）（2）对x轴左加右减；对y轴上加下减；如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x=-b/2a时，y最值=(4ac-b2)/4a．

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