Question

【题目】某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．
（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本＝每件的成本×每天的销售量）

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意可得：（1）y＝（x－50）[50＋5（100－x）]

＝（x－50）（－5x＋550）

＝－5x2＋800x－27500

∴ 与 之间的函数关系为： ．

（2）解：y＝－5x2＋800x－27500

＝－5(x－80)2＋4500

∵a＝－5＜0，

∴抛物线开口向下．

∵50≤ ≤100，对称轴是直线 ＝80，

∴当 ＝80时， 最大＝4500．

（3）解：当 ＝4000时，－5( －80)2＋4500＝4000，解得 ＝70， ＝90，

又∵ 的图象开口向下，

∴当70≤ ≤90时，每天的销售利润不低于4000元．

由每天的总成本不超过7000元，得50（－5 ＋550）≤7000，解得 ≥82，

∴82≤ ≤90，

∵50≤ ≤100，

∴销售单价应该控制在82元至90元(包括端点)之间.

【解析】（1）根据每天的销售利润y=每一件的利润每天的销售量，即可求出函数解析式。
（2）求出（1）中函数的顶点坐标，即可求出结论。
（3）先求出y=4000时对应的自变量x的值，结合二次函数的性质，得出每天的销售利润不低于4000元时自变量的取值范围；再根据每天的总成本≤7000，建立不等式求解，即可求出销售单价应控制的范围。