Question

【题目】在菱形ABCD中，∠B=60，E是边CD上一点，以CE为边作等边△CEF．

（1） 如图1，当CE⊥AD ，CF=时，求菱形ABCD的面积；

（2） 如图2，过点E作∠CEF的平分线交CF于H，连接DH，并延长DH与AC的延长交于点P，若∠ECD=15，求证：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析.

【解析】

（1）由等边三角形的性质得出CE的长．再由菱形的性质及∠B=60得到CD的长，根据菱形的面积公式即可得出结论．

（2）连接DF，过F作FG⊥CD于G．由菱形的性质及∠B=60得到△ABC和△ACD是等边三角形，即可证明△ACE≌△DCF，进而得到DF//AP，由平行线的性质得到∠FDH=∠CPH．

由等边三角形的性质得到CH=HF．可证明△CHP≌△FHD，得到DF=CP．在Rt△DGF中，由∠FDC=60，可得．在等腰Rt△CFG中，有，从而可以得出结论．

（1）∵等边△CEF，CF=，∴CE=CF=．

∵菱形ABCD，∠B=60，∴∠D=∠B=60，AD=CD．

∵CE⊥AD，∴∠ECD=30，∴CD=4，∴AD=4，∴S菱形ABCD=ADCE=．

（2）连接DF，过F作FG⊥CD于G．

∵菱形ABCD，∴AB=BC=CD=AD．

∵∠B=60，∴△ABC和△ACD是等边三角形，∴∠CAD=∠ACD=60．

∵等边△CEF，∴CE=CF，∠ECF=60，∴∠ACD-∠ECD=∠ECF-∠ECD即∠ACE=∠DCF．

在△ACE与△DCF中，，∴△ACE≌△DCF，∴∠FDC=60．

∵∠ACD=60，∴DF//AP，∴∠FDH=∠CPH．

∵等边△CEF，EH平分∠CEF，∴CH=HF．

在△CHP与△FHD中，∵∠FDH=∠CPH，∠FHD=∠CHP，HF=CH，∴△CHP≌△FHD，∴DF=CP．

∵∠FDC=60，FG⊥CD，∴．

∵∠ECF=60，∠ECD=15，∴∠DCF=45．

∵∠DCF=45，FG⊥CD，∴，∴．