Question

【题目】如图，矩形纸片ABCD中，G、F分别为AD、BC的中点，将纸片折叠，使D点落在GF上，得到△HAE ， 再过H点折叠纸片，使B点落在直线AB上，折痕为PQ.连接AF、EF ， 已知HE＝HF.下列结论：①△MEH为等边三角形；②AE⊥EF；③△PHE∽△HAE；④ ，

其中正确的结论是
A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.①②③④

Answer 1

【答案】D
【解析】解：①由折叠易得AH=AD，∠DAE=HAE，
∠AHE=∠D=90°，PQ=BC=AD，PQ⊥AB，
因为G，F分别为AD、BC的中点，
所以H也是PQ的中点，
则在Rt△AHQ中，AH=2HQ，则∠HAQ=30°，
所以∠DAE=HAE=∠HAQ=30°，
则∠AEH=60°，∠AHM=∠HAQ=30°，
所以∠EMH=∠AEH=60°，
则△MEH为等边三角形，故①正确；
②由①得MH=EH=HF，则△MEF为直角三角形，即AE⊥EF ， 故②正确；
③在Rt△AHE中，=sin30°=，
同理，在Rt△AHQ中，=sin30°=，
则==，
又∠AHE=∠HPE=90°，
∴△PHE∽△HAE ， 故③正确；
④设AD=x，则AH=x，BQ=HF=HE=x，AQ=AH=x，
则AB=AQ+BQ=x，
所以==，
故④正确.
故选 D.
【考点精析】本题主要考查了矩形的性质的相关知识点，需要掌握矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等才能正确解答此题．