Question

【题目】问题情境：已知：如图1，直线AB∥CD，现将直角三角板△PMN放入图中，其中∠MPN=90°，点P始终在直线MN右侧．PM交AB于点E，PN交CD于点F，试探究：∠PFD与∠AEM的数量关系．

（1）特例如图2，当点P在直线AB上（即点E与点P重合）时，直接写出∠PFD与∠AEM的数量关系，不必证明；

（2）类比探究：如图1，当点P在AB与CD之间时，猜想∠PFD与∠AEM的数量关系，并说明理由；

（3）拓展延伸：如图3，当点P在直线AB的上方时，PN交AB于点H，其他条件不变，猜想∠PFD与∠AEM的数量关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）∠PFD+∠AEM=90°，理由见解析；（2）∠PFD+∠AEM=90°，理由见解析；（3）∠PFD﹣∠AEM=90°，理由见解析.

【解析】

（1）根据平行线的性质得到∠PFD=∠APF，结合图形证明；

（2）作PQ∥AB交MN于Q，根据平行线的性质解答；

（3）根据平行线的性质、三角形的外角的性质解答．

解：（1）∠PFD+∠AEM=90°，

理由如下：∵AB∥CD，

∴∠PFD=∠APF，

∵∠APF+∠AEM=90°，

∴∠PFD+∠AEM=90°；

（2）∠PFD+∠AEM=90°，

理由如下：作PQ∥AB交MN于Q，

∵AB∥CD，

∴PQ∥CD，

∴∠AEM=∠QPE，∠PFD=∠QPF，

∵∠QPE+∠QPF=90°，

∴∠PFD+∠AEM=90°；

（3）∠PFD﹣∠AEM=90°，

理由如下：∵AB∥CD，

∴∠PFD=∠PHB，

∵∠PHB﹣∠PEB=90°，∠AEM=∠PEB，

∴∠PHB﹣∠AEM=90°，

∴∠PFD﹣∠AEM=90°．