Question

【题目】如图，正方形ABCD中，点E为边BC的上一动点，作AF⊥DE交DE、DC分别于P、F点，连PC

（1）若点E为BC的中点，求证：F点为DC的中点；

（2）若点E为BC的中点，PE＝6，PC＝，求PF的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）2

【解析】

（1）先证得△ADF≌△DCE，推出DF＝CE，由EC＝BC，BC＝DC，继而可得DF＝DC，即可求证结论；

（2）延长PE到N，使得EN＝PF，连接CN，易证△CEN≌△CFP，继而推出△NCP是等腰直角三角形，推出PN＝PE+NE＝PE+PF＝，即可求解．

证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴AD＝CD＝BC，∠ADC＝∠C＝90°，

∵AF⊥DE，

∴∠APD＝∠DPF＝90°，

∴∠ADP+∠DAF＝90°，∠ADP+∠EDC＝90°，

∴∠DAF＝∠EDC，

在△ADF和△DCE中，

，

∴△ADF≌△DCE（AAS），

∴DF＝CE，

∵EC＝BC，BC＝DC，

∴DF＝DC，

∴F点为DC的中点；

（2）延长PE到N，使得EN＝PF，连接CN，

∵∠AFD＝∠DEC，

∴∠CEN＝∠CFP，

又∵E，F分别是BC，DC的中点，

∴CE＝CF，

∵在△CEN和△CFP中

，

∴△CEN≌△CFP（SAS），

∴CN＝CP，∠ECN＝∠PCF，

∵∠PCF+∠BCP＝90°，

∴∠ECN+∠BCP＝∠NCP＝90°，

∴△NCP是等腰直角三角形，

∴PN＝PE+NE＝PE+PF＝，

∴PF＝﹣PE＝8﹣6＝2．