Question

【题目】如图1，在矩形ABCD中，E是CB延长线上一个动点，F、G分别为AE、BC的中点，FG与ED相交于点H．

（1）求证：HE＝HG；

（2）如图2，当BE＝AB时，过点A作AP⊥DE于点P，连接BP，求的值；

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】

（1）连接AG，并延长AG交DC的延长线于M，连接EM，证明先证明△ABG≌△MCG（ASA），得到GA＝GM，加上已知F为AE的中点，进而证明FG是△AEM的中位线，根据中位线的性质可得∠HGE＝∠MEC，接下来用SAS证明△DEC≌△MEC，可得∠DEC＝∠MEC，所以∠HEG＝∠HGE，HE＝HG即得以证明；

（2）过点B作BQ⊥BP交DE于Q，在△ABP和△EBQ中，根据三角形内角和定理及对顶角相等的性质，易得∠BEQ＝∠BAP，由∠QBP＝∠ABE＝90°可得∠QBP＝∠ABE＝90°，又因为BE＝AB，所以满足ASA，△BEQ≌△BAP可证；再根据全等三角形的性质可得BQ＝BP，PA＝QE，可证△PBQ是等腰直角三角形，,而PQ＝PB，等量代换代入所求比例式，即可求解．

（1）证明：连接AG，并延长AG交DC的延长线于M，连接EM，

，

∵G为BC的中点，

∴BG＝CG，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABG＝∠DCB＝90°，

∴∠ABG＝∠MCG＝90°，

在△ABG和△MCG中，

，

∴△ABG≌△MCG（ASA），

∴GA＝GM，

∵F为AE的中点，

∴FA＝FE，

∴FG是△AEM的中位线，

∴FG∥EM，

∴∠HGE＝∠MEC，

在△DCE和△MCE中，

，

∴△DEC≌△MEC（SAS），

∴∠DEC＝∠MEC，

∵∠HGE＝∠MEC，

∴∠HEG＝∠HGE，

∴HE＝HG；

（2）过点B作BQ⊥BP交DE于Q，则∠QBP＝90°，

∵AP⊥DE，四边形ABCD是矩形，

∴∠APE＝∠ABE＝90°，

∵∠APO+∠AOP+∠BAP＝180°，∠EOB+∠ABE+∠BEP＝180°，∠AOP＝∠EOB，

∴∠BEQ＝∠BAP，

∵∠QBP＝∠ABE＝90°，

∴∠EBQ＝∠ABP＝90°﹣∠ABQ，

在△ABP和△EBQ中，

，

∴△BEQ≌△BAP（ASA），

∴BQ＝BP，PA＝QE，

∴△PBQ是等腰直角三角形，

∴PQ＝PB，

∴．