Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，∠ACO＝90°，∠AOC＝30°，分别以AO、CO为边向外作等边三角形△AOD和等边三角形△COE，DF⊥AO于F，连DE交AO于G．

（1）求证：△DFG≌△EOG；

（2）H为AD的中点，连HG，求证：CD＝2HG；

（3）在（2）的条件下，AC＝4，若M为AC的中点，求MG的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．

【解析】

（1）本题考查全等三角形的判定，通过等边三角形的性质利用AAS定理解答本题．

（2）本题考查三角形中位线定理以及全等三角形的判定，通过构造辅助线利用SAS定理解答．

（3）本题考查三角形中位线定理以及等边三角形的证明，通过构造辅助线，结合角度的计算加以证明，最后求解边长．

证明：（1）如图1，∵∠AOC＝30°，

∴∠GOE＝90°．

设AC＝a，则OA＝2a，OE＝OC＝a，

在等边△AOD中，DF⊥OA，

∴DF＝a，

∴DF＝OE．

又∵∠DGF=∠EGO,∠DFG=∠EOG，

∴△DFG≌△EOG（AAS）．

（2）如下图图2所示，连接AE，

∵H、G分别为AD、DE的中点，

∴HG∥AE，HG＝AE．

∵DO=AO，CO=OE,∠DOC=∠AOE=90°，

∴△DOC≌△AOE（SAS），

∴DC＝AE，

∴DC＝2HG．

（3）如下图图2所示，连接HM，

∵H、M分别为AD、AC的中点，

∴HM＝CD．

∵DC=2HG，

∴HM＝HG．

又∠DHG＝∠DAE＝60°+∠OAE＝60°+∠ODC，∠AHM＝∠ADC，

∴∠MHG＝180°﹣∠AHM﹣∠DHG＝180°﹣∠ADC﹣60°﹣∠ODC＝120°﹣（∠ADC+∠ODC）＝120°﹣∠ADO＝60°，

∴△HMG为等边三角形．

∵AC＝4，

∴OA＝OD＝8，OC＝，CD＝，

∴MG＝HG＝CD＝．