Question

【题目】综合与探究：

如图，抛物线y=x2﹣x﹣4与x轴交与A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，连接BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．

（1）求点A，B，C的坐标．

（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD，BC于点M，N．试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由．

（3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q，使△BDQ为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（8，0）．点C的坐标为（0，﹣4）；

（2）当m=4时，四边形CQMD是平行四边形；

（3）符合题意的点Q的坐标为（﹣2，0）或（6，﹣4）．

【解析】试题分析：（1）根据坐标轴上点的特点，可求点A，B，C的坐标．

（2）由菱形的对称性可知，点D的坐标，根据待定系数法可求直线BD的解析式，根据平行四边形的性可得关于m的方程，求得m的值；再根据平行四边形的判定可得四边形CQBM的形状；

（3）分DQ⊥BD，BQ⊥BD两种情况讨论可求点Q的坐标．

试题解析：（1）当y=0时， x2-x-4=0，解得x1=-2，x2=8，

∵点B在点A的右侧，

∴点A的坐标为（-2，0），点B的坐标为（8，0）．

当x=0时，y=-4，

∴点C的坐标为（0，-4）．

（2）由菱形的对称性可知，点D的坐标为（0，4）．

设直线BD的解析式为y=kx+b，则，

解得k=-，b=4．

∴直线BD的解析式为y=-x+4．

∵l⊥x轴，

∴点M的坐标为（m，-m+4），点Q的坐标为（m， m2-m-4）．

如图，当MQ=DC时，四边形CQMD是平行四边形，

∴（-m+4）-（m2-m-4）=4-（-4）．

化简得：m2-4m=0，

解得m1=0（不合题意舍去），m2=4．

∴当m=4时，四边形CQMD是平行四边形．

此时，四边形CQBM是平行四边形．

∵m=4，

∴点P是OB的中点．

∵l⊥x轴，

∴l∥y轴，

∴△BPM∽△BOD，

∴，

∴BM=DM，

∵四边形CQMD是平行四边形，

∴DM∥CQ，DM=CQ

∴BM∥CQ，BM=CQ，

∴四边形CQBM是平行四边形．

（3）抛物线上存在两个这样的点Q，分别是Q1（-2，0），Q2（6，-4）．

若△BDQ为直角三角形，可能有三种情形，如图2所示：

以点Q为直角顶点．

此时以BD为直径作圆，圆与抛物线的交点，即为所求之Q点．

∵P在线段EB上运动，

∴-8≤xQ≤8，而由图形可见，在此范围内，圆与抛物线并无交点，

故此种情形不存在．

以点D为直角顶点．

连接AD，∵OA=2，OD=4，OB=8，AB=10，

由勾股定理得：AD=2，BD=4，

∵AD2+BD2=AB2，

∴△ABD为直角三角形，即点A为所求的点Q．

∴Q1（-2，0）；

以点B为直角顶点．

如图，设Q2点坐标为（x，y），过点Q2作Q2K⊥x轴于点K，则Q2K=-y，OK=x，BK=8-x．

易证△Q2KB∽△BOD，

∴，即，整理得：y=2x-16．

∵点Q在抛物线上，

∴y=x2-x-4．

∴x2-x-4=2x-16，解得x=6或x=8，

当x=8时，点Q2与点B重合，故舍去；

当x=6时，y=-4，

∴Q2（6，-4）．