Question

【题目】P是⊙O内一点，过点P作⊙O的任意一条弦AB，我们把PAPB的值称为点P关于⊙O的“幂值”

（1）⊙O的半径为6，OP=4．

①如图1，若点P恰为弦AB的中点，则点P关于⊙O的“幂值”为_____；

②判断当弦AB的位置改变时，点P关于⊙O的“幂值”是否为定值，若是定值，证明你的结论；若不是定值，求点P关于⊙0的“幂值”的取值范围；

（2）若⊙O的半径为r，OP=d，请参考（1）的思路，用含r、d的式子表示点P关于⊙O的“幂值”或“幂值”的取值范围_____；

（3）在平面直角坐标系xOy中，C（1，0），⊙C的半径为3，若在直线y=x+b上存在点P，使得点P关于⊙C的“幂值”为6，请直接写出b的取值范围_____．

Answer 1

【答案】（1）①20；②当弦AB的位置改变时，点P关于⊙O的“幂值”为定值，证明见解析；（2）点P关于⊙O的“幂值”为r2﹣d2；（3）﹣3≤b≤.

【解析】【详解】（1）①如图1所示：连接OA、OB、OP．由等腰三角形的三线合一的性质得到△PBO为直角三角形，然后依据勾股定理可求得PB的长，然后依据幂值的定义求解即可；

②过点P作⊙O的弦A′B′⊥OP，连接AA′、BB′．先证明△APA′∽△B′PB，依据相似三角形的性质得到PAPB=PA′PB′从而得出结论；

（2）连接OP、过点P作AB⊥OP，交圆O与A、B两点．由等腰三角形三线合一的性质可知AP=PB，然后在Rt△APO中，依据勾股定理可知AP2=OA2-OP2，然后将d、r代入可得到问题的答案；

（3）过点C作CP⊥AB，先求得OP的解析式，然后由直线AB和OP的解析式，得到点P的坐标，然后由题意圆的幂值为6，半径为4可求得d的值，再结合两点间的距离公式可得到关于b的方程，从而可求得b的极值，据此即可确定出b的取值范围．

【详解】（1）①如图1所示：连接OA、OB、OP，

∵OA=OB，P为AB的中点，

∴OP⊥AB，

∵在△PBO中，由勾股定理得：PB==2，

∴PA=PB=2，

∴⊙O的“幂值”=2×2=20，

故答案为：20；

②当弦AB的位置改变时，点P关于⊙O的“幂值”为定值，证明如下：

如图，AB为⊙O中过点P的任意一条弦，且不与OP垂直，过点P作⊙O的弦A′B′⊥OP，连接AA′、BB′，

∵在⊙O中，∠AA′P=∠B′BP，∠APA′=∠BPB′，

∴△APA′∽△B′PB，

∴，

∴PAPB=PA′PB′=20，

∴当弦AB的位置改变时，点P关于⊙O的“幂值”为定值；

（2）如图3所示；连接OP、过点P作AB⊥OP，交圆O与A、B两点，

∵AO=OB，PO⊥AB，

∴AP=PB，

∴点P关于⊙O的“幂值”=APPB=PA2，

在Rt△APO中，AP2=OA2﹣OP2=r2﹣d2，

∴关于⊙O的“幂值”=r2﹣d2，

故答案为：点P关于⊙O的“幂值”为r2﹣d2；

（3）如图4所示：过点C作CP⊥AB，

，

∵CP⊥AB，AB的解析式为y=x+b，

∴直线CP的解析式为y=﹣x+．

联立AB与CP，得，

∴点P的坐标为（﹣﹣b，+b），

∵点P关于⊙C的“幂值”为6，

∴r2﹣d2=6，

∴d2=3，即（﹣﹣b）2+（+b）2=3，

整理得：b2+2b﹣9=0，

解得b=﹣3或b=，

∴b的取值范围是﹣3≤b≤，

故答案为：﹣3≤b≤.