Question

【题目】把两个全等的等腰直角三角板（直角边长为4）叠放在一起，且三角板EFG的直角顶点G位于三角板ABC的斜边中点处．现将三角板EFG绕G点按顺时针方向旋转α度（0°＜α＜90°）（如图1），四边形GKCH为两三角板的重叠部分．

（1）猜想BH与CK有怎样的数量关系？并证明你的结论；
（2）连接HK（如图2），在上述旋转过程中，设BH=x，△GKH的面积为y，
①求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
②当△GKH的面积恰好等于△ABC面积的 ，求x．

Answer 1

【答案】
（1）

解：BH=CK．

理由如下：∵点O是等腰直角三角板ABC斜边中点，

∴∠B=∠GCK=45°，BG=CG，

由旋转的性质，知∠BGH=∠CGK，

在△BGH和△CGK中，

，

∴△BGH≌△CGK（ASA），

∴BH=CK；

（2）

解：①∵△BGH≌△CGK，

∴S四边形CHGK=S△CGK+S△CGH=S△BGH+S△CGH=S△BCG= S△ABC=4，

∴S△GKH=S四边形CHGK﹣S△KCH=4﹣ CH×CK，

∴y= x2﹣2x+4（0＜x＜4），

②当y= ×8= 时，即 x2﹣2x+4= ，

∴x=1 或x=3．

∴当△GKH的面积恰好等于△ABC面积的 时，BH=1 或BH=3．

【解析】（1）先由ASA证出△CGK≌△BGH，再根据全等三角形的性质得出BH=CK，根据全等得出四边形CKGH的面积等于三角形ACB面积一半；（2）①由（1）易得S四边形CHGK= S△ABC ， 然后根据面积公式得出y= x2﹣2x+4；②根据△GKH的面积恰好等于△ABC面积的 ，代入得出方程即可求得结果．