Question

【题目】如图，正方形ABCD的边长为1，E是AD边上一动点，AE=m，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE．延长BG交直线CD于点F．

（1）若∠ABE：∠BFC=n，则n=；
（2）当E运动到AD中点时，求线段GF的长；
（3）若限定F仅在线段CD上（含端点）运动，直接写出m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）1：2
（2）解：当E运动到AD中点时，AE=DE= ，

由折叠得，DE=GE，∠EGF=∠D=90°，BG=AB=1，

根据DE=GE，EF=EF可得，Rt△EDF≌Rt△EGF（HL），

∴DF=GF，

设DF=GF=x，则CF=1﹣x，

∵在Rt△BCF中，BC2+FC2=BF2，

∴12+（1﹣x）2=（1+x）2，

解得x= ，

∴线段GF的长为 ；

（3）解：若限定F仅在线段CD上（含端点）运动，则

①如图，当点F与点D重合时，AE=EG=GF=m，FE=1﹣m，

在Rt△EFG中，m2+m2=（1﹣x）2，

解得m=﹣ ﹣1（舍去），m= ﹣1；

②如图，当点F与点C重合时，点E与点D重合，此时AE=AD=1，

∴m=1．

综上，m的取值范围是： ﹣1≤m≤1．

【解析】 解：（1）∵正方形ABCD中，AB∥CD，
∴∠ABF=∠BFC，
由折叠得，∠ABF=2∠ABE，
∴∠BFC=2∠ABE，
∴∠ABE：∠BFC=1：2，
∴n=1：2，
故答案为：1：2；
（1）根据正方形的性质可得∠ABF=∠BFC，根据折叠可得∠ABF=2∠ABE，由此得出n的值即可；（2）先根据折叠的性质，判定Rt△EDF≌Rt△EGF，再设DF=GF=x，在Rt△BCF中运用勾股定理求得x的值即可；（3）若限定F仅在线段CD上（含端点）运动，则分两种情况进行讨论：点F与点D重合，点F与点C重合，进而求得m的取值范围．