【题目】在数学活动课上，小明提出这样一个问题：∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，如图，则下列说法正确的有几个?

（1）AE平分∠DAB；（2）△EBA≌△DCE； （3）AB+CD=AD；（4）AE⊥DE;（5）AB//CD;

大家一起热烈地讨论交流，小红第一个得出正确答案，是（ ）．

A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个

参考答案：

【答案】C

【解析】

取AD的中点F，连接EF．根据平行线的性质可证得（1）（4）正确，根据梯形中位线定理可证得（3）正确．根据全等三角形全等的判定可证得（2）的正误，即可得解．

AD的中点F，连接EF，

取AD的中点F，连接EF．

∵∠B=∠C=90°，

∴AB∥CD，结论(5)正确，

∵E是BC的中点，F是AD的中点，

∴EF∥AB∥CD，2EF=AB+CD（梯形中位线定理）①；

∴∠CDE=∠DEF（两直线平等，内错角相等），

∵DE平分∠ADC，

∴∠CDE=∠FDE=∠DEF，

∴DF=EF；

∵F是AD的中点，

∴DF=AF，

∴AF=DF=EF②，

由①得AF+DF=AB+CD，即AD=AB+CD；结论（3）正确，

由②得∠FAE=∠FEA，

由AB∥EF可得∠EAB=∠FEA，

∴∠FAE=∠EAB，即EA平分∠DAB；结论（1）正确

∵∠FAE=∠EAB， DE平分∠ADC，且DC∥AB，

∴∠EDA+∠DAE=90°，

∴∠DEA=90°，即AE⊥DE；结论（4）正确，

由以上结论及三角形全等的判定方法，无法证明△EBA≌△DCE．

正确的结论有4个，

故选C.

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