Question

【题目】如图1在平面直角坐标系中．等腰Rt△OAB的斜边OA在x轴上．P为线段OB上﹣动点（不与O，B重合）．过P点向x轴作垂线．垂足为C．以PC为边在PC的右侧作正方形PCDM．OP= t、OA=3．设过O，M两点的抛物线为y=ax2+bx．其顶点N（m，n）

（1）写出t的取值范围 ， 写出M的坐标：（）；
（2）用含a，t的代数式表示b；
（3）当抛物线开向下，且点M恰好运动到AB边上时（如图2）
①求t的值；
②若N在△OAB的内部及边上，试求a及m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：0＜t＜ ；2t，t
（2）

解：把M（2t，t）代入到y=ax2+bx中得：

t=4at2+2tb，

1=4at+2b，

b= ；

（3）

解：①如图2，∵OB= ，OP= t，

∴PB= ﹣ t，

∵PM∥OA，

∴ ，

∴ = ，

∴t=1；

②由（2）得：b= = ﹣2a，即4a=1﹣2b，

顶点N（﹣ ，﹣ ）（a＜0，b＞0），

i）当0≤﹣ ≤ 时，即a≤﹣ 时，

﹣ ≥﹣ ，解得a≥﹣ ，

∴﹣ ≤a≤﹣ ，

ii）当 ＜﹣ ≤3时，即﹣ ＜a≤﹣ ，

3﹣（﹣ ）≥﹣ ，

b2﹣4b+3≤0，

1≤b≤3，

1≤ ﹣2a≤3，﹣ ≤a≤﹣ ，

则﹣ ＜a≤﹣ ，

综上所述：a的取值为：﹣ ≤a≤﹣ ，

m=﹣ =1﹣ ，

得：4am=4a﹣1，a=﹣ = ，

﹣ ≤ ≤﹣ ，

∴ ≤m≤2．

【解析】 解：（1）如图1，∵△OAB为等腰直角三角形，OA=3，
∴OB=AB= = ，
∵P为线段OB上﹣动点（不与O，B重合），
∴0＜ t＜ ，
∴0＜t＜ ，
∵四边形PCDM为正方形，
∴∠PCO=90°，
∵∠POC=45°，
∴△POC为等腰直角三角形，
∵OP= t，
∴PC=OC=t，
∴OD=t+t=2t，
∴M（2t，t）；
【考点精析】掌握二次函数的图象是解答本题的根本，需要知道二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点．