Question

【题目】如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，OD⊥AB，与AC交于点E，与过点C的⊙O的切线交于点D．
（1）若AC=4，BC=2，求OE的长．
（2）试判断∠A与∠CDE的数量关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB= = =2 ，

∴OA= AB= ，

∵OD⊥AB，

∴∠AOE=∠ACB=90°，

又∵∠A=∠A，

∴△AOE∽△ACB，

∴ ，即 ，

解得：OE=

（2）解：∠CDE=2∠A，理由如下：

连接OC，如图所示：

∵OA=OC，

∴∠1=∠A，

∵CD是⊙O的切线，

∴OC⊥CD，

∴∠OCD=90°，

∴∠2+∠CDE=90°，

∵OD⊥AB，

∴∠2+∠3=90°，

∴∠3=∠CDE，

∵∠3=∠A+∠1=2∠A，

∴∠CDE=2∠A．

【解析】（1）由圆周角定理得出∠ACB=90°，由勾股定理求出AB= =2 ，得出OA= AB= ，证明△AOE∽△ACB，得出对应边成比例即可得出答案；（2）连接OC，由等腰三角形的性质得出∠1=∠A，由切线的性质得出OC⊥CD，得出∠2+∠CDE=90°，证出∠3=∠CDE，再由三角形的外角性质即可得出结论．
【考点精析】本题主要考查了勾股定理的概念和切线的性质定理的相关知识点，需要掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径才能正确解答此题．