Question

【题目】如图，在等腰△ABC中，，，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持,连接DE、DF、EF在此运动变化的过程中，下列结论：(1)是等腰直角三角形；四边形CDFE不可能为正方形，（3）长度的最小值为4；（4）连接CF，CF恰好把四边形CDFE的面积分成1：2两部分，则或其中正确的结论个数是

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个

Answer 1

【答案】A

【解析】

连接CF，证明△ADF≌△CEF，根据全等三角形的性质判断①，根据正方形的判定定理判断②，根据勾股定理判断③，根据面积判断④．

连接CF，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠FCB=∠A= ，CF=AF=FB；

∵AD=CE，

∴△ADF≌△CEF(SAS)；

∴EF=DF，∠CFE=∠AFD；

∵∠AFD+∠CFD=90，

∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90，

又∵EF=DF

∴△EDF是等腰直角三角形(故(1)正确).

当D. E分别为AC、BC中点时,四边形CDFE是正方形(故(2)错误).

由于△DEF是等腰直角三角形，因此当DE最小时，DF也最小；

即当DF⊥AC时,DE最小,此时 .

∴ (故(3)错误).

∵△ADF≌△CEF，

∴S△CEF=S△ADF

∴S四边形CDFE=S△AFC,

∵CF恰好把四边形CDFE的面积分成1：2两部分

∴S△CEF：S△CDF=1:2 或S△CEF：S△CDF=2:1

即S△ADF：S△CDF=1:2 或S△ADF：S△CDF=2:1

当S△ADF：S△CDF=1:2时，S△ADF=S△ACF=

又∵S△ADF=

∴2AD=

∴AD=(故(4)错误).

故选：A.