Question

【题目】定义：我们把对角线相等的四边形叫做和美四边形．

请举出一种你所学过的特殊四边形中是和美四边形的例子．

如图1，E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，已知四边形EFGH是菱形，求证：四边形ABCD是和美四边形；

如图2，四边形ABCD是和美四边形，对角线AC，BD相交于O，，E、F分别是AD、BC的中点，请探索EF与AC之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）矩形；（2）证明见解析；（3），证明见解析.

【解析】

（1）等腰梯形、矩形、正方形，任选一个即可；

（2）根据三角形中位线性质可得

（3），连接BE并延长至M，使，连接DM、AM、CM，先证四边形MABD是平行四边形，，，，是等边三角形，，由三角形中位线性质得．

解：矩形的对角线相等，

矩形是和美四边形；

如图1，连接AC、BD，

，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，

，，

四边形EFGH是菱形，

，

，

四边形ABCD是和美四边形；

，

证明：如图2，连接BE并延长至M，使，连接DM、AM、CM，

，

四边形MABD是平行四边形，

，，

，

是等边三角形，

，

中，，，

．