Question

【题目】如图：三角形ABC内接于圆O，∠BAC与∠ABC的角平分线AE，BE相交于点E，延长AE交外接圆O于点D，连接BD，DC，且∠BCA=60°

（1）求∠BED的大小；
（2）证明：△BED为等边三角形；
（3）若∠ADC=30°，圆O的半径为r，求等边三角形BED的边长．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵∠BCA=60°，

∴∠BAC+∠ABC=180°-∠BCA=180°-60°=120°，

∵∠BAC与∠ABC的角平分线AE，BE相交于点E，

∴∠ABE+∠BAE= （∠BAC+∠ABC）= ×120°=60°，

∴∠BED=∠ABE+∠BAE=60°

（2）证明：∵∠BCA=60°，

∴∠ADB=∠BCA=60°，

∴∠DBE=180°-∠BED-∠ADB=180°-60°-60°=60°，

∴△BED为等边三角形

（3）解：∵∠ADC=30°，∠ADB=60°，

∴∠BDC=∠ADC+∠ADB=30°+60°=90°，

∴BC是⊙O的直径，

∵∠BCA=60°，

∴∠ABC=90°-60°=30°，

∵BE平分∠ABC，

∴∠CBE=15°，

∴∠DBC=∠DBE-∠CBE=60°-15°=45°，

∴BD=BCcos45°=2r× = r．

即等边△BED的边长为 r

【解析】（1）根据三角形内角和定理和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，求出∠BED的值；（2）根据圆周角定理和三角形内角和定理得到△BED为等边三角形；（3）根据圆周角定理，得到BC是⊙O的直径，根据角平分线定义求出∠CBE的度数，根据三角函数求出等边△BED的边长.
【考点精析】掌握圆周角定理是解答本题的根本，需要知道顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．