Question

【题目】如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与一直线相交于A（-1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．

（1）抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；
（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；
（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由抛物线y=-x2+bx+c过点A（-1，0）及C（2，3）得，

，

解得 ，

故抛物线为y=-x2+2x+3

又设直线为y=kx+n过点A（-1，0）及C（2，3）得

，

解得

故直线AC为y=x+1

（2）解：如图1，作N点关于直线x=3的对称点N′，则N′（6，3），由（1）得D（1，4），

故直线DN′的函数关系式为y=- x+ ，

当M（3，m）在直线DN′上时，MN+MD的值最小，

则m=- ×3+ =

（3）解：由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2），

∵点E在直线AC上，

设E（x，x+1），

①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，

则F（x，x+3），

∵F在抛物线上，

∴x+3=-x2+2x+3，

解得，x=0或x=1（舍去）

∴E（0，1）；

②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，

则F（x，x-1）

由F在抛物线上

∴x-1=-x2+2x+3

解得x= 或x=

∴E（ ， ）或（ ， ）

综上，满足条件的点E的坐标为（0，1）、（ ， ）或（ ， ）

（4）解：如图3，过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G，

设Q（x，x+1），则P（x，-x2+2x+3）

∴PQ=（-x2+2x+3）-（x+1）

=-x2+x+2

又∵S△APC=S△APQ+S△CPQ

= PQAG

= （-x2+x+2）×3

=- （x- ）2+

∴面积的最大值为

【解析】（1）由A，C两点的坐标，用待定系数法求出抛物线和直线AC的函数关系式；（2）由使MN+MD的值最小，得到当M（3，m）在直线DN′上时，MN+MD的值最小，求出m的值；（3）由（1）、（2）得到D，B的坐标，由点E在直线AC上，求出点E的坐标；当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，由F在抛物线上，求出点E的坐标；（4）根据题意得到PQ的代数式，由三角形的面积公式S△APC=S△APQ+S△CPQ= PQAG，求出△APC的面积的最大值；此题是综合题，难度较大，计算和解方程时需认真仔细．