Question

【题目】如图，⊙O的直径为AB，点C在圆周上（异于A，B），AD⊥CD．

（1）若BC=3，AB=5，求AC的值；
（2）若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AB是⊙O直径，C在⊙O上，

∴∠ACB=90°，

又∵BC=3，AB=5，

∴由勾股定理得AC=4

（2）解：证明：连接OC

∵AC是∠DAB的角平分线，

∴∠DAC=∠BAC，

又∵AD⊥DC，

∴∠ADC=∠ACB=90°，

∴△ADC∽△ACB，

∴∠DCA=∠CBA，

又∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∵∠OAC+∠OBC=90°，

∴∠OCA+∠ACD=∠OCD=90°，

∴DC是⊙O的切线．

【解析】（1）首先依据圆周角定理可得到∠ACB=90°，然后利用勾股定理求得AC的长即可；
（2）连接OC，首先利用角平分线的性质和等边对等角，可证得∠OCA=∠CAD，依据平行线的判定定理可得到OC∥AD，接下来，由AD⊥CD，可证明OC⊥CD，从而可证明CD是⊙O的切线.
【考点精析】本题主要考查了切线的判定定理的相关知识点，需要掌握切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线才能正确解答此题．