Question

【题目】在Rt△ABC，∠C=90°，D为AB边上一点，点M、N分别在BC、AC边上，且DM⊥DN．作MF⊥AB于点F，NE⊥AB于点E．

（1）特殊验证：如图1，若AC=BC，且D为AB中点，求证：DM=DN，AE=DF；
（2）拓展探究：若AC≠BC．
①如图2，若D为AB中点，（1）中的两个结论有一个仍成立，请指出并加以证明；
②如图3，若BD=kAD，条件中“点M在BC边上”改为“点M在线段CB的延长线上”，其它条件不变，请探究AE与DF的数量关系并加以证明．

Answer 1

【答案】
（1）证明：若AC=BC，则△ABC为等腰直角三角形，

如答图1所示，连接CD，则CD⊥AB，又∵DM⊥DN，∴∠1=∠2．

在△AND与△CMD中，

∴△AND≌△CMD（ASA），

∴DN=DM．

∵∠4+∠1=90°，∠1+∠3=90°，∴∠4=∠3，

∵∠1+∠3=90°，∠3+∠5=90°，∴∠1=∠5，

在△NED与△DFM中，

∴△NED≌△DFM（ASA），

∴NE=DF．

∵△ANE为等腰直角三角形，∴AE=NE，∴AE=DF

（2）①答：AE=DF．

证法一：由（1）证明可知：△DEN∽△MFD

∴ ，即MFEN=DEDF．

同理△AEN∽△MFB，

∴ ，即MFEN=AEBF．

∴DEDF=AEBF，

∴（AD﹣AE）DF=AE（BD﹣DF），

∴ADDF=AEBD，∴AE=DF．

证法二：如答图2所示，过点D作DP⊥BC于点P，DQ⊥AC于点Q．

∵D为AB中点，

∴DQ=PC=PB．

易证△DMF∽△NDE，∴ ，

易证△DMP∽△DNQ，∴ ，

∴ ；

易证△AEN∽△DPB，∴ ，

∴ ，∴AE=DF．

②答：DF=kAE．

证法一：由①同理可得：DEDF=AEBF，

∴（AE﹣AD）DF=AE（DF﹣BD）

∴ADDF=AEBD

∵BD=kAD

∴DF=kAE．

证法二：如答图3，过点D作DP⊥BC于点P，DQ⊥AC于点Q．

易证△AQD∽△DPB，得 ，即PB=kDQ．

由①同理可得： ，

∴ ；

又∵ ，

∴ ，

∴DF=kAE

【解析】（1）连接CD，首先证明△AND≌△CMD，依据全等三角形的性质可得到DN=DM，然后再证明△NED≌△DFM，从而可得到DF=NE，然后依据等腰三角形的性质可得到AE=NE=DF；
（2）①若D为AB中点，则△DEN∽△MFD，△AEN∽△MFB，然后依据相似三角形的性质列出比例式，接下来，由线段比例关系可以证明AE=DF结论依然成立；②若BD=kAD，证明思路与①类似.
【考点精析】认真审题，首先需要了解相似三角形的判定与性质(相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方)．