Question

【题目】“低碳环保”已经成为一种生活理念，同时也带来无限商机．某高科技发展公司投资2000万元成功研制出一种市场需求量较大的低碳高科技产品．已知生产每件产品的成本是40元，在销售过程中发现：当销售单价定为100元时，年销售量为20万件；销售单价每增加10元，年销售量将减少1万件，设销售单价为x（元），年销售量为y（万件），年获利为z（万元）．（年获利=年销售额﹣生产成本﹣投资）
（1）试写出z与x之间的函数关系式；
（2）请通过计算说明，到第一年年底，当z取最大值时，销售单价x定为多少？此时公司是盈利了还是亏损了？
（3）若该公司计划到第二年年底获利不低于1130万元，请借助函数的大致图象说明，第二年的销售单价x（元）应确定在什么范围内？

Answer 1

【答案】
（1）解：依题意知，当销售单价定为x元时，年销售量减少 （x﹣100）万件，

∴y=20﹣ （x﹣100）=﹣ x+30，

即y与x之间的函数关系式是y=﹣ x+30．

由题意得：

z=y（x﹣40）﹣2000

=（30﹣ x）（x﹣40）﹣2000

=﹣ x2+34x﹣3200，

即z与x之间的函数关系是z=﹣ x2+34x﹣3200

（2）解：∵z=﹣ x2+34x﹣3200，

=﹣ （x﹣170）2﹣310．

∴当x=170时，z取最大值，为﹣310，

即当销售单价为170元，年获利最大，并且第一年年底公司还差310万元就可收回全部投资．

（3）解：第二年的销售单价定为x元时，年获利为：

z=（30﹣ x）（x﹣40）﹣310=﹣ x2+34x﹣1510．

当z=1130时，即1130=﹣ x2+34x﹣1510，

整理得x2﹣340x+26400=0，

解得：x1=120，x2=220．

函数z=﹣ x2+34x﹣1510的图象大致如图所示，

由图象可以看出：当120≤x≤220时，z≥1130．

故第二年的销售单价应确定在不低于120元且不高于220元的范围内．

【解析】（1）当销售单价定为x元时，依据题意可知年销售量减少（x-100），从而可得到y与x之间的函数关系式，进而由题意易得z与x之间的函数关系；
（2）利用配方法对z与x的函数关系进行变形，从而可得出当x=170时，z取最大值；即可得出公司是盈利了还是亏损；
（3）首先令获得的利润为1130万元列出方程，然后从而可求得此时x的值，然后依据函数的图形可确定出利润不低于1130万元时，自变量x的取值范围.