Question

【题目】△ABC中，AD是BC边上的高，BD=3，CD=1，AD=2，P、Q、R分别是BC、AB、AC边上的动点，则△PQR周长的最小值为 ．

Answer 1

【答案】
【解析】如图1中，作P点关于AB的对称点P′，作P点关于AC的对称点P″，连接P′P″，与AB交于点Q′，与AC交于点R′，连接PP′交AB于M，连接PP″交AC于N，

此时△PQ′R′的周长最小，这个最小值=P′P″，

∵PM=MP′，PN=NP″，

∴P′P″=2MN，

∴当MN最小时P′P″最小．如图2中，

∵∠AMP=∠ANP=90°，

∴A、M、P、N四点共圆，线段AP就是圆的直径，MN是弦，

∵∠MAN是定值，

∴直径AP最小时，弦MN最小，

∴当点P与点D重合时，PA最小，此时MN最小．

如图3中，

∵在RT△ABD中，∠ADB=90°，AD=2，DB=3，

∴AB= ，在RT△ADC中，

∵∠ADC=90°，AD=2，CD=1，

∴AC= ，

∵DM⊥AB，DN⊥AC，

∴ ACDN= DCAD，

∴DN= ，AN= ，

∵∠MAD=∠DAB，∠AMD=∠ADB，

∴△AMD∽△ADB，∴ ，

∴ =AMAB，同理 =ANAC，

∴AMAB=ANAC，

∴ ，

∵∠MAN=∠CAB，∴△AMN∽△ACB，

∴ ，

∴ ，

∴MN= ，

∴△PQR周长的最小值=P′P″=2MN= ．

故答案为： ．

如图1中，作P点关于AB的对称点P′，作P点关于AC的对称点P″，连接P′P″，与AB交于点Q′，与AC交于点R′，连接PP′交AB于M，连接PP″交AC于N，此时△PQ′R′的周长最小，这个最小值=P′P″，然后证出P′P″=2MN，当MN最小时P′P″最小．如图2中， 根据圆周角定理得出A、M、P、N四点共圆，线段AP就是圆的直径，MN是弦，又由于∠MAN是定值，故直径AP最小时，弦MN最小，从而知道当点P与点D重合时，PA最小，此时MN最小，如图3中，首先根据勾股定理得出AB,AC的长度，然后根据面积法得出DN长，再根据勾股定理算出AN的长，进而判断出△AMD∽△ADB，根据相似三角形的性质得出 A D 2 =AMAB，同理 A D 2 =ANAC，故AMAB=ANAC，从而再判断出△AMN∽△ACB，根据相似三角形的性质得出MN的长，从而得出答案。