Question

【题目】如图，直线y=﹣ x+6分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=﹣ x2+8，与y轴交于点D，点P是抛物线在第一象限部分上的一动点，过点P作PC⊥x轴于点C．

（1）点A的坐标为 ， 点D的坐标为；
（2）探究发现：
①假设P与点D重合，则PB+PC=；（直接填写答案）
②试判断：对于任意一点P，PB+PC的值是否为定值？并说明理由；
（3）试判断△PAB的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值，并求出此时点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）（4,0）,（0,8）
（2）PB+PC=10,是,理由如下：过点P作PQ⊥y轴于点Q,∵P在抛物线上,且在第一象限,∴设P点坐标为（x,﹣ x2+8）．则PQ=x,PC=﹣ x2+8．当4≤x＜8时,PB= = x2+2,∴PB+PC= x2+2+（﹣ x2）+8=10,当0＜x＜4时,同理可得；
（3）△PAB的面积存在最大值，且最大值为13，此时点P的坐标为（6， ）

解：存在．

设△PAB的面积为S．

由（2）假设．

当4≤x＜8时，有S=

=﹣ x2+3x+4=﹣ （x﹣6）2+13．

当0＜x＜4时，s=﹣ （x﹣6）2+13．

当x=6时，S最大=13，y=﹣ ×36+8= ，

∴△PAB的面积存在最大值，且最大值为13，此时点P的坐标为（6， ）

【解析】

解：（1）y=﹣ x+6当y=0时，x=4，即A（4，0），

y=﹣ x2+8当x=0时，y=8，即D点坐标（0，8），

所以答案是：（4，0），（0，8）；（2）①PB=PO﹣OB=8﹣6=2，PB+PC=8+2=10；