Question

【题目】如图，在等边△ABC中，点D、E分别在BC、AC上，且BD=CE，连接AD，BE交于点F；

（1）求∠AFE的度数；

（2）连接FC，若∠AFC=90°，BF=1，求AF的长.

Answer 1

【答案】（1）60°；（2）2.

【解析】

（1）因为△ABC为等边三角形，所以∠ABD=∠BCE=60°，AB=AC=BC，又BD=CE，所以用“SAS”可判定△ABD≌△BCE，根据全等三角形的性质得出∠BAD=∠CBE，利用三角形外角性质解答即可；

（2）延长BE至H，使FH=AF，连接AH,CH,得到：△ACH，利用等边三角形的性质进而解答即可．

解：（1）∵△ABC为等边三角形，

∴AB=AC=BC，∠ABD=∠BCE=60°，

在△ABD和△BCE中，

，

∴△ABD≌△BCE（SAS）；

∴∠BAD=∠CBE，

∵∠ADC=∠CBE+∠BFD=∠BAD+∠B，

∴∠BFD=∠B=∠AFE=60°；

（2）

延长BE至H，使FH=AF，连接AH,CH

由（1）知∠AFE=60°，∠BAD=∠CBE，

∴△AFH是等边三角形，

∴∠FAH=60°，AF=AH，

∴∠BAC=∠FAH=60°，

∴∠BAC-∠CAD=∠FAH-∠CAD，

即∠BAF=∠CAH，

在△BAF和△CAH中，

∵AB=AC，∠BAF=∠CAH，AF=AH，

∴△BAF≌△CAH（SAS），

∴∠ABF=∠ACH，CH=BF=1；

又∵∠ABC=∠BAC，∠BAD=∠CBE，

∴∠ABC-∠CBE=∠BAC-∠BAD，

即∠ABF=∠CAF，

∴∠ACH=∠CAF，

∴AF∥CH，

∵∠AFC=90°，∠AFE=60°，

∴CF⊥CH，∠CFH=30°，

∴FH=2CH，

∴AF=2BF=2×1=2，

即AF的长为2．