Question

【题目】已知：在△ABC中，BA=BC，BD是△ABC的中线，△ABC的角平分线AE交BD于点F，过点C作AB的平行线交AE的延长线于点G

（1）如图1，若∠ABC=60°，求证：AF=EG;

（2）如图2，若∠ABC=90°，求证：AF=EG;

（3）在（2）的条件下如图3，过点A作∠CAH=∠FAC，过点B作BM∥AC交AG于点M，点N在AH上，连接MN、BN，若∠BMN+∠EAH=90°，，求BN的长.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）6.

【解析】

（1）先判断出△ABC是等边三角形，设DF=a，表示出AF、EF，根据两直线平行，内错角相等求出∠G=∠CAE=30°，表示出GE，然后相比即可；

（2）取EG的中点P，连接CF、CP，根据角平分线的定义求出∠BAE=∠FAC=22.5°，根据等腰直角三角形的对称性可得AF=CF，然后求出∠CFP=45°，再求出∠ECG=90°，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CP=GP=EG，根据两直线平行，内错角相等可得∠G=∠BAE=22.5°，再求出∠CPF=45°，根据等角对等边可得CF=CP，从而得到AF=CP，AF=EG，整理即可得证；

（3）过点B作BK⊥AM于K，过点M作ML⊥AH于H，先求出∠EAH=30°，根据直角三角形两锐角互余求出∠AML=∠BMN=60°，然后求出∠BMK=∠NML，再求出∠BAE=∠BME=22.5°，根据等角对等边可得AB=BM，根据等腰三角形三线合一的性质可得MK=AM，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得ML=AM，从而得到MK=ML，再利用“角边角”证明△BMK和△NML全等，根据全等三角形对应边相等可得MN=BM，再根据等腰直角三角形的面积求出AB，再判断出△BMN是等边三角形，然后求解即可．

（1）证明：∵BA=BC，∠ABC=60°，

∴△ABC是等边三角形，

设DF=a，

∵BD为△ABC的中线，AE为△ABC的角平分线，

∴AF=2a，EF=a，

∵CG∥AB，

∴∠G=∠CAE=∠CAE=30°，

∴GE=AE=AF+EF=2a+a=3a，

∴AF=EG；

（2）证明：取EG的中点P，连接CF、CP，

∵BA=BC，∠ABC=90°，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∴AF=CF，

∵AF是△ABC的角平分线，

∴∠BAE=∠FAC=22.5°，

∴∠CFP=45°，

∵CG∥AB，

∴∠ECG=∠ABC=90°，

∴CP=GP=EG，

∵CG∥AB，

∴∠G=∠BAE=22.5°，

∴∠CPF=45°，

∴CF=CP，

∴AF=EG；

（3）过点B作BK⊥AM于K，过点M作ML⊥AH于H，

∵∠CAH=∠FAC，

∴∠EAH=22.5°+×22.5°=30°，

∴∠AML=90°-30°=60°，

∵∠BMN与∠EAH互余，

∴∠BMN=90°-30°=60°，

∴∠BMK=∠NML，

∵AE是△ABC的平分线，CG∥AB，

∴∠BAE=∠BME=×45°=22.5°，

∴AB=BM，

∴MK=AM，

∵∠MAH=30°，ML⊥AH，

∴MH=AM，

∴MK=ML，

在△BMK和△NML中，

，

∴△BMK≌△NML（ASA），

∴MN=BM，

∴MN=AB，

∵△ABC的面积为18，

∴AB2=18，

∴AB=6，

∵∠BMN=60°，BM=MN，

∴△BMN是等边三角形，

∴BN=MN=6．