【题目】如图，△ABC和△DEF均是边长为4的等边三角形，△DEF的顶点D为△ABC的一边BC的中点，△DEF绕点D旋转，且边DF、DE始终分别交△ABC的边AB、AC于点H、G.图中直线BC两侧的图形关于直线BC成轴对称.连结HH′、HG、GG′、H′G′，其中HH′、GG′分别交BC于点I、J.

（1）求证：△DHB∽△GDC；

（2）设CG=x，四边形HH′G′G的面积为y，

①求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围；

②求当x为何值时，y的值最大，最大值为多少？

参考答案：

【答案】（1）证明见解析；（2）①y=（+x）（4--）（1≤x≤4）；②x=2，y最大=4.

【解析】

试题分析：此题是几何变换综合题，主要考查相似三角形的性质和判定以及对称的性质，用x表示线段是解决本题的关键，也是难点．

（1）由等边三角形的特点得到相等关系，即可；

（2）由相似三角形得到=，再结合对称，表示出相关的线段，四边形HH′G′G的面积为y求出即可．

试题解析：（1）在正△ABC中，∠ABC=∠ACB=60°，

∴∠BHD+∠BDH=120°，

在正△DEF中，∠EDF=60°，

∴∠GDC+∠BDH=120°，

∴∠BHD=∠GDC，

∴△DHB∽△GDC；

（2）①∵D为BC的中点,

∴BD=CD=2,

由△DHB∽△GDC,

∴=，即=,

得BH=,

∵H，H′和G，G′关于BC对称，

∴HH′⊥BC，GG′⊥BC,

∴在RT△BHI中，BI=BH=，HI=BH=,

在RT△CGJ中，CJ=CG=，GJ=CG=，

∴HH′=2HI=，GG′=2GJ=x，IJ=4--,

∴y=（+x）（4--）（1≤x≤4）,

②由①得，y=+2（+x）,

设+x=a，得y=-a2+2a,

当a=4时，y最大=4,

此时+x=4，解得x=2.

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