【题目】【问题背景】

如图①所示，在正方形ABCD的内部，作∠DAE=∠ABF=∠BCG=∠CDH，根据三角形全等的条件，易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH，从而得到四边形EFGH是正方形．

【类比研究】

如图②所示，在正△ABC的内部，作∠BAD=∠CBE=∠ACF，AD，BE，CF两两相交于D，E，F三点（D，E，F三点不重合）．

（1）△ABD，△BCE，△CAF是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明；

（2）△DEF是否为正三角形？请说明理由；

（3）连结AE，若AF=DF，AB=7，求△DEF的边长．

参考答案：

【答案】（1）△ABD≌△BCE≌△CAF；理由见解析；（2）△DEF是正三角形；理由见解析；（3）

【解析】分析：（1）由正三角形的性质得出∠CAB=∠ABC=∠BCA=60°，AB=BC，证出∠ABD=∠BCE，由ASA证明△ABD≌△BCE即可；

（2）由全等三角形的性质得出∠ADB=∠BEC=∠CFA，证出∠FDE=∠DEF=∠EFD，即可得出结论；

（3）先判断出AF=FD=EF，进而得出∠FAE=∠FEA=30°，即：∠DEA=90°，再用勾股定理得出AE，即可得出结论．

详解：（1）△ABD≌△BCE≌△CAF；理由如下：

∵△ABC是正三角形，

∴∠CAB=∠ABC=∠BCA=60°，AB=BC，

∵∠ABD=∠ABC-∠CBE，∠BCE=∠ACB-∠ACF，∠CBE=∠ACF，

∴∠ABD=∠BCE，

在△ABD和△BCE中，

，

∴△ABD≌△BCE（ASA）；

同理：△ABD≌CAF，

即：△ABD≌△BCE≌△CAF

（2）△DEF是正三角形；理由如下：

∵△ABD≌△BCE≌△CAF，

∴∠ADB=∠BEC=∠CFA，

∴∠FDE=∠DEF=∠EFD，

∴△DEF是正三角形；

（3）∵△DEF是正三角形，

∴∠DFE=∠FDE=60°，

又AF=FD，

∴AF=FD=EF，

∴∠FAE=∠FEA=30°，

∴∠DEA=90°，

设DE=x，则AD=BE=2x，

在Rt△ADE中，AE2=AD2-DE2=3x2，

在Rt△ABE中，AB=7，AB2=BE2+AE2，

即，49=4x2+3x2，

∴x=-（舍）或x=，

∴△DEF的边长为．

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