Question

【题目】在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC上一点，将△ABD沿AD翻折后得到△AED，边AE交射线BC于点F．（友情提醒：翻折前后的两个三角形的对应边相等，对应角相等．）

　

（1）如图①，当AE⊥BC时，求证：DE∥AC．

（2）若，∠BAD＝x° ．

①如图②，当DE⊥BC时，求x的值；

②是否存在这样的x的值，使得△DEF中有两个角相等．若存在，并求x的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①，②存在，或．

【解析】

（1）根据折叠的性质得到∠B=∠E，根据平行线的判定定理证明；

（2）①根据三角形内角和定理分别求出∠C=60°，∠B=30°，根据折叠的性质计算即可；②分∠EDF=∠DFE、∠DFE=∠E、∠EDF=∠E三种情况，列方程解答即可．

（1）∵AE⊥BC

∴∠EAC+∠C=90°

∵∠BAC=90°

∴∠B+∠C=90°

∴∠B=∠EAC

∵将△ABD沿AD翻折后得到△AED

∴∠B=∠E

∴∠EAC=∠E

∴DE∥AC

（2）①∵∠B+∠C=90°，

∴∠B=40°，∠C=50°

∵DE⊥BC

∴∠EDF=90°

∵将△ABD沿AD翻折后得到△AED

∴∠B=∠E=40°，∠BAD=∠EAD=°

∴∠DFE=50°

∵∠DFE=

∴

∴

②由题意可得，∠ADC=， ∠ABD= ，

∠EDF=

∠DFE=

（ⅰ）若∠EDF=∠DFE ，可得，解得

（ⅱ）若∠EDF=∠E ，可得解得

（ⅲ）若∠DFE =∠E，可得解得（舍去）

综上可得或．