Question

【题目】如图所示：△ABC是等腰直角三角形，BC=AC，直角顶点C在x轴上，一锐角顶点B在y轴上.

（1）如图1所示，若C的坐标是（2，0），点A的坐标是（﹣2，﹣2），求：点B的坐标；

（思路提示：过点A作AD⊥x轴于点D，通过证明△BOC≌△CDA来达到目的.）

（2）如图2，若y轴恰好平分∠ABC，AC与y轴交于点D，过点A作AE⊥y轴 于E，问BD与AE有怎样的数量关系，并说明理由；

（3）如图3，直角边BC的两个端点在两坐标轴上滑动，使点A在第四象限内，过A点作AF⊥y轴于F，在滑动的过程中，两个结论①为定值；②为定值，只有一个结论成立，请你判断正确的结论加以证明，并求出定值．

Answer 1

【答案】(1) （0，4）；(2) BD=2AE,理由见解析；（3）1

【解析】试题分析：（1）过点A作AD⊥x轴，可证△ADC≌△COB，根据全等三角形对应边相等即可解题；（2）延长BC，AE交于点F，可证△ACF≌△BCD，△ABE≌△FBE，即可求得BD=2AE；

（3）作AE⊥OC，则AF=OE，可证△BCO≌△ACE，可得AF+OB=OC，即可解题．

试题解析：

（1）过点A作AD⊥x轴，

∵∠DAC+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，

∴∠BCD=∠DAC，

在△ADC和△COB中，

，

∴△ADC≌△COB（AAS），

∴AD=OC，CD=OB，

∴点B坐标为（0，4）；

（2）延长BC，AE交于点F，

∵AC=BC，AC⊥BC，

∴∠BAC=∠ABC=45°，

∵BD平分∠ABC，

∴∠COD=22.5°，∠DAE=90°﹣∠ABD﹣∠BAD=22.5°，

在△ACF和△BCD中，

，

∴△ACF≌△BCD（ASA），

∴AF=BD，

在△ABE和△FBE中，

，

∴△ABE≌△FBE（ASA），

∴AE=EF， ∴BD=2AE；

（3）作AE⊥OC，则AF=OE，

∵∠CBO+∠OBC=90°，∠OBC+∠ACO=90°，

∴∠ACO=∠CBO，

在△BCO和△ACE中，

，

∴△BCO≌△ACE（AAS）， ∴CE=OB， ∴OB+AF=OC．

∴=1．