Question

【题目】（13分）如图所示，四边形中， 于点, , ,点为线段上的一个动点。

（1）求证: 。

（2）过点分别作于点，作于点。

① 试说明为定值。

② 连结,试探索：在点运动过程中，是否存在点，使的值最小。若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】试题分析：（1）由AC⊥BD，AO＝CO，可知BD是AC的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可知AD＝DC，AB＝BC，同理可得AD＝AB，CD＝BC，故AB＝BC＝CD＝AD；或先根据对角线互相平分的四边形是平行四边形先证四边形ABCD是平行四边形，然后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形证明四边形ABCD是菱形，进而得出结论；

（2）连接DP，根据题意可知： S△ADC＝S△ADP＋S△CDP，由三角形的面积公式可知： ACOD ＝ADPM＋DCPH，将AC、OD、AD、DC的长代入化简即可；

（3））由PM＋PH为定值，当PB最短时，PM＋PH＋PB有最小值，由垂线的性质可知当点P与点O重合时，OB有最小值．

试题解析：

（1）证明：∵AO＝CO，BD⊥AC，

∴AD＝CD，AB＝BC ，

同理可得AD＝AB,CD＝BC，

∴AB＝BC＝CD＝AD；

另证：∵AO＝CO，BO＝DO，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵AC⊥BD，

∴四边形ABCD是菱形，

∴AB＝BC＝CD＝AD．

（2）证明：∵AC⊥BD，BO＝DO＝5，AO＝CO＝12，

∴由勾股定理得AD＝CD＝13，

连结DP则S△ADC＝S△ADP＋S△CDP ，

又∵PM⊥AD，PH⊥DC，DO⊥AC，

∴

∴

∴即为定值；

（3）存在点，使的值最小．

由（2）可知， 为定值

∴要使PM＋PH＋PB最小，则PB要取最小值

∵BO⊥AC，

∴当P与O重合时，PB最小，最小值为OB＝5，

∴PM＋PH＋PB的最小值为．