Question

【题目】如图所示，抛物线（m＞0）的顶点为A，直线与轴的交点为点B.

（1）求出抛物线的对称轴及顶点A的坐标（用含的代数式表示）；

（2）证明点A在直线上，并求∠OAB的度数；

（3）动点Q在抛物线对称轴上，问：抛物线上是否存在点P，使以点P、Q、A为顶点的三角形与△OAB全等？若存在，求出的值，并写出所有符合上述条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）抛物线的对称轴为直线，顶点A的坐标为（，0）；（2）∠OAB=30°；（3）存在，①=时， P（0，-），P（，-）；②=时，P（，-3），P（3+，-3）；③=2时， P（，-3），P（，-3）；④=时， P（，-），P（，-）.

【解析】（1）根据抛物线的解析式可得出抛物线的对称轴和A点坐标，

（2）将A点坐标代入直线的解析式中进行验证即可得出A点是否在直线y＝xm上的．求∠OAB的度数，可通过求∠OAB的正切值来得出，根据直线AB的解析式可得出B点坐标，即可得出OB的长，OA的长已求出，因此可在三角形OAB中得出∠OAB的正切值．即可得出∠OAB的度数．

（3）本题可分成四种情况：

一：∠AQP=∠AOB=90°：

①AO=PQ，OB=AQ，此时P、B重合，即可求出P点坐标（根据抛物线的对称性可知：P点关于抛物线对称轴的对称点也符合要求）．

②AO=AQ，PQ=OB，此时P点纵坐标的绝对值与A点横坐标相等，可将其代入抛物线的解析式中，可得出两个符合条件的P点坐标．

二：∠APQ=∠AOB=90°：

①AO=PA，OB=PQ，可过P作抛物线对称轴的垂线，通过∠PAQ的度数和AP即OA的长求出P点纵坐标，然后代入抛物线的解析式中即可得出两个符合条件的P点坐标．

②AO=PQ，PA=OB，同①

因此本题共有8个符合条件的P点坐标．

（1）对称轴：x=m；

顶点：A（m，0）．

（2）将x=m代入函数y=x-m，

得y=×m-m=0

∴点A（m，0）在直线l上．

当x=0时，y=-m，

∴B（0，-m）

tan∠OAB=，

∴∠OAB=30度．

（3）以点P、Q、A为顶点的三角形与△OAB全等共有以下四种情况：

①当∠AQP=90°，PQ=m，AQ=m时，

如图1，此时点P在y轴上，与点B重合，其坐标为（0，-m），

代入抛物线y=-（x-m）2

得-m=-3m2，

∵m＞0，

∴m=

这时有P1（0，-）

其关于对称轴的对称点P2（，- ）也满足条件．

②当∠AQP=90°，PQ=m，AQ=m时

点P坐标为（m-m，-m），

代入抛物线y=-（x-m）2

得m=m2，

∵m＞0，

∴m=

这时有P3（3-，-3）

还有关于对称轴的对称点P4（3+，-3）．

③当∠APQ=90°，AP=m，PQ=m时

点P坐标为（m，m），代入抛物线y=-（x-m）2

得m=m2，

∵m＞0，

∴m=2

这时有P5（，-3）

还有关于对称轴的对称点P6（3，-3）．

④当∠APQ=90°，AP=m，PQ=m时

点P坐标为（m，m），

代入抛物线y=-（x-m）2

得m=m2，

∵m＞0，

∴m=

这时有P7（，-）

还有关于对称轴对称的点P8（，-）．

所以当m=时，有点P1（0，-），P2（，-）；

当m=时，有点P3（3-，-3），P4（3+，-3）；

当m=2时，有点P5（，-3），P6（3，-3）；

当m=时，有点P7（，-），P8（，-）．