Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径, BM切⊙O于点B，点P是⊙O上的一个动点（不经过A，B两点）,过O作OQ∥AP交于点Q，过点P作于C，交的延长线于点E，连结.

（1）求证：PQ与⊙O相切；

（2）若直径AB的长为12，PC=2EC，求tan∠E的值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）连接OP，根据平行线的性质得到∠EOC=∠OAP，∠POQ=∠APO，根据等腰三角形的性质得到∠APO=∠OAP，推出△POQ≌△BOQ，根据全等三角形的性质得到∠OPQ=∠OBQ=90°，根据切线的判定定理即可得到结论；

（2）由OQ∥AP，可得△COE∽△CAP,从而列比例式求出PC的长； 由OQ∥AP，∠E=∠APC，所以tan∠E=，从而求得结果.

解：(1)连接OP，

∵OQ∥AP，∴∠A=∠BOQ，∠APO=∠POQ，

又∵OA=OP，∴∠A=∠APO．

∴∠BOQ=∠POQ,

在△OQB与△OQP中，

∠BOQ=∠POQ，OP=OB，OQ=OQ，

∴△OQB≌△OQP,

∴∠OBQ=∠OPQ，PQ=BQ．

∵BM切⊙O于点B,∴∠OBQ=∠OPQ=90°．

∴PQ与⊙O相切；

(2) ∵OQ∥AP，∴△COE∽△CAP,∴,

由AB的长为12，

∴OA=6.

∵PC=2EC， ∴OC=2，AC=4,

∴.

由OQ∥AP，∠E=∠APC，

∴tan∠E=.