Question

【题目】如图，矩形中，，，点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处.当为直角三角形时，则的长为________.

Answer 1

【答案】或

【解析】

当△CB′E为直角三角形时，有两种情况：

①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．

连结AC，先利用勾股定理计算出AC=10，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=6，可计算出CB′=4，设BE=x，则EB′=x，CE=8-x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x．再在Rt△ABE中，利用勾股定理可得AE的长

②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形．可得AB=BE，在Rt△ABE中，利用勾股定理可得AE的长.

解：当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：

①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．

连结AC，在Rt△ABC中，AB=6，BC=8，

∴AC=10，

∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，

∴∠AB′E=∠B=90°，

当△CEB′为直角三角形时，得到∠EB′C=90°，

∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，

∴EB=EB′，AB=AB′=6，

∴CB′=10-6=4；

设BE=，则EB′=，CE=

在Rt△CEB′中，由勾股定理可得：,

解得：

在Rt△ABE中，利用勾股定理可得：

②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．

此时ABEB′为正方形，

∴BE=AB=6，

∴在Rt△ABE中，利用勾股定理可得：

综上所述，的长为或

故答案为：或