Question

【题目】生活常识：射到平面镜上的光线（入射光线）和变向后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，MN是平面镜，若入射光线AO与水平镜面夹角为∠1，反射光线OB与水平镜面夹角为∠2，则∠1=∠2．

（1）现象解释：如图2，有两块平面镜OM，ON，且OM⊥ON，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD．已知：∠1=55°，求∠4的度数．

（2）尝试探究：如图3，有两块平面镜OM，ON，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD，光线AB与CD相交于点E，若∠MON=46°，求∠CEB的度数．

（3）深入思考：如图4，有两块平面镜OM，ON，且∠MON=α，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD，光线AB与CD所在的直线相交于点E，∠BED=β，α与β之间满足的等量关系是 ．（直接写出结果）

Answer 1

【答案】（1）35°；（2）88°；（3）β＝2α

【解析】

（1）根据平面镜反射光线的规律得∠1＝∠2，∠3＝∠4，再利用∠2＋∠3＝90°，即可求解；

（2）根据三角形内角和定理求得∠2＋∠3＝134°，根据平面镜反射光线的规律得∠1＝∠2，∠3＝∠4，再利用平角的定义得出∠1＋∠2＋∠EBC＋∠3＋∠4＋∠BCE＝360°，即可得出∠EBC＋BCE＝360°（2×134°）＝92°，根据三角形内角和定理即可得出∠BEC＝180°92°＝88°；

（3）利用平角的定义得出∠ABC＝180°2∠2，∠BCD＝180°2∠3，利用外角的性质∠BED＝∠ABC∠BCD＝（180°2∠2）（180°2∠3）＝2（∠3∠2）＝β，而∠BOC＝∠3∠2＝α，即可证得β＝2α．

解：（1）如图2，∵∠1=∠2，∠1=55°

∴∠2=55°

∵OM⊥ON

∴∠3=90°－∠2=90°－55°=35°

∵∠4=∠3

∴∠4=35°

（2）如图3，∵∠MON=46°

∴∠2+∠3=180°－∠MON=180°－46°=134°

∵∠1=∠2，∠3=∠4

∴∠ECB+∠EBC=360°－2（∠2+∠3）=360°－134°×2=92°

∴∠BEC=180°－∠ECB－∠EBC=180°－92°=88°

（3）如图4，β＝2α，

理由如下：∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，

∴∠ABC＝180°2∠2，∠BCD＝180°2∠3，

∴∠BED＝∠ABC∠BCD＝（180°2∠2）（180°2∠3）＝2（∠3∠2）＝β，

∵∠BOC＝∠3∠2＝α，

∴β＝2α．