Question

【题目】如图，P为正方形ABCD的边BC上一动点（P与B、C不重合），点Q在CD边上，且BP=CQ，连接AP、BQ交于点E，将△BQC沿BQ所在直线对折得到△BQN，延长QN交BA的延长线于点M．

（1）求证：AP⊥BQ；
（2）若AB=3，BP=2PC，求QM的长；
（3）当BP=m，PC=n时，求AM的长．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABC=∠C=90°，AB=BC．

∴在△ABP和△BCQ中，

，

∴△ABP≌△BCQ，

∴∠BAP=∠CBQ．

∵∠BAP+∠APB=90°，

∴∠CBQ+∠APB=90°，

∴∠BEP=90°，

∴AP⊥BQ；

（2）

解：∵正方形ABCD中，AB=3，BP=2CP，

∴BP=2，

由（1）可得NQ=CQ=BP=2，NB=3．

又∵∠NQB=∠CQB=∠ABQ，

∴MQ=MB．

设MQ=MB=x，则MN=x﹣2．

在直角△MBN中，MB2=BN2+MN2，

即x2=32+（x﹣2）2，

解得：x= ，即MQ=

（3）

解：∵BP=m，CP=n，

由（1）（2）得MQ=BM，CQ=QN=BP=m，

设AM=y，BN=BC=m+n，

在直角△BNM中，MB=y+m+n，MN=MQ﹣QN=（y+m+n）﹣m=y+n，

（y+m+n）2=（m+n）2+（y+n）2，

即y2+2（m+n）y+（m+n）2=（m+n）2+y2+2ny+n2，

则y= ，AM=

【解析】（1）证明△ABP≌△BCQ，则∠BAP=∠CBQ，从而证明∠CBQ+∠APB=90°，进而得证；（2）设MQ=MB=x，则MN=x﹣2．在直角△MBN中，利用勾股定理即可列方程求解；（3）设AM=y，BN=BC=m+n，在直角△BNM中，MB=y+m+n，MN=MQ﹣QN=（y+m+n）﹣m=y+n，利用勾股定理即可求解．