Question

【题目】如果一个多边形的各边都相等，且各内角也都相等，那么这个多边形就叫做正多边形．如图，就是一组正多边形，观察每个正多边形中∠α的变化情况，解答下列问题：

（1）将下面的表格补充完整：

正多边形边数	3	4	5	6	…	n
∠α的度数	60°	45°			…

（2）根据规律，是否存在一个正多边形，其中的∠α＝21°？若存在，请求出n的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）36°，30°，；（2）不存在，理由见解析.

【解析】

（1）根据多边形内角和公式求出多边形每个内角的度数，再根据三角形内角和定理求出即可；

（2）根据（1）中得出的规律，列方程求解即可；

解：（1）当正多边形有5条边时，每个内角度数=(5-2) ×180°÷5=108°，则∠α=(180°-108°) ÷2=36°=180°÷5；

当正多边形有6条边时，每个内角度数=(6-2) ×180°÷6=120°，则∠α=(180°-120°) ÷2=30°=180°÷6；

由以上两个式子可知，当正多边形有n条边时，每个内角度数；

填写下表：

正多边形边数	3	4	5	6	…	n
∠α的度数	60°	45°	36°	30°	…	（）°

（2）不存在，理由如下：

设存在正n边形使得∠α＝21°，

得∠α＝21°＝（）°．

解得：n＝8，n是正整数，n＝8（不符合题意要舍去），

不存在正n边形使得∠α＝21°．