Question

【题目】已知x1，x2 是关于x的方程（x－2）（x－m）=（p－2）（p－m）的两个实数根．

（1）求x1，x2 的值；

（2）若x1，x2 是某直角三角形的两直角边的长，问当实数m，p满足什么条件时，此直角三角形的面积最大？并求出其最大值．

Answer 1

【答案】（1）x1 = p，x2 = m + 2－p；

（2）当且m＞－2时，以x1，x2为两直角边长的直角三角形的面积最大，最大面积为（或）．

【解析】试题分析：（1）化简方程，用分解因式法求出两根；

（2）直角三角形的面积为x1x2，利用根与系数的关系可以得到关于p的关系式，然后利用二次函数可以求出什么时候有最大值．

试题解析：（1） 原方程变为：x2－（m + 2）x + 2m = p2－（m + 2）p + 2m，

∴ x2－p2－（m + 2）x +（m + 2）p = 0，

（x－p）（x + p）－（m + 2）（x－p）= 0，

即 （x－p）（x + p－m－2）= 0，

∴ x1 = p， x2 = m + 2－p．

（2）∵ 直角三角形的面积为x1x2=p(m+2-p)

=

=

=，

∴ 当且m＞－2时，以x1，x2为两直角边长的直角三角形的面积最大，最大面积为（或）．